Matematyczna gimnastyka zwojów, czyli “Niezwykłe liczby Fibonacciego”

 

[metoda generowania kiści Grossmana] to kolejny przykład niecodziennych właściwości ciągu, który ma niepokojący zwyczaj pojawiać się tajemniczo w różnego rodzaju wytworach ludzkich rąk i umysłów, na przykład we fraktalach, lecz także w dziełach natury. To każe zastanowić się nad istotą matematyki – choć opisywane za jej pomocą obiekty rodzą się w ludzkim umyśle, zależności między nimi wydają się być narzucone jakiegoś rodzaju koniecznością. Pewne związki pojawiają się nawet tam, gdzie nikt ich celowo nie umieszczał.

Matematyka jest królową nauk. Ale niektórym całe lata zajmuje przyzwyczajenie się do tej myśli. Mnie zajęło to ponad ćwierćwiecze, ale po Niezwykłe liczby Fibonacciego sięgnęłam w zasadzie tylko dlatego, że tak bardzo urzekły mnie dwie inne pozycje z serii Na ścieżkach nauki – Jak zbudować wehikuł czasu oraz Skąd się wziął kot Schrödingera. I znów zakwasy w mózgu pozwalają mi mieć nadzieję, że każdy, absolutnie każdy, jest w stanie wgryźć się w matematykę. Jeśli jest dobrze podana. Ale po kolei.

Tak zwane liczy Fibonacciego to ciąg rekurencyjny odkryty przez genialnego naukowca – Leonarda z Pizy (Fibonacciego) żyjącego na przełomie XII i XIII wieku (!). Leonardo wyprowadził obliczenia dzięki analizie rozmnażania się królików. I niech nie przeraża was skomplikowany wzór ciągu, bo zasada jest prosta – każda kolejna (za wyjątkiem dwóch pierwszych) liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich. Początkowe wartości to więc 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … i tak dalej, bo można by obliczenia ciągnąć (sic!) w nieskończoność.

Nic specjalnego, jak łatwo zauważyć – proste jak… wiadomo. Schody (i matematyczne piękno!) zaczynają się, kiedy rozważymy kilka zaskakujących właściwości ciągu. Nie będę ich wszystkich zdradzać, żeby nie popsuć zabawy podczas lektury, dlatego też podzielę się zaledwie kilkoma przykładami. 

1. Po pierwsze (i zaskakujące!) suma kwadratów dwóch kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego jest równa wyrazowi, którego indeks (n w Fn) opisany jest sumą indeksów tamtych dwóch wyrazów. [np. F7 =13, F 8=21; kwadraty tych liczb to 169 i 441, a ich suma wynosi 610, F15 (czyli 7+8) zaś to właśnie 610!]

 

2. Po drugie indeksy (n) wyrazów ciągu, jeśli są podzielne przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, wyznaczają liczby również przez to podzielne. (np. przez 5 dzielą się F5, F10, F15, F20, F25 itd.!]

 

3. Granicą stosunków kolejnych wyrazów ciągu jest jedna z najsłynniejszych liczb matematyki – złota liczba (φ). Oznacza to, że jeśli podzielimy przez siebie dowolne dwie liczby ciągu otrzymamy przybliżenie złotej liczby czyli φ=0,6180339887… Przy czym im większe liczby ciągu, tym dokładniejsze będzie przybliżenie. [np. F15/F16 = 610/987= 0,6180344…, ale już F21/F22 = 10946/17711 = 0,6180339…]

Wyliczenie ciekawych, zaskakujących, czasem skomplikowanych zależności dotyczących tego szczególnego rodzaju ciągu, można by ciągnąć (no właśnie!) niemal w nieskończoność, ale póki operujemy zaledwie liczbami, poza zaspokajaniem ciekawości poznawczej i miłości do łamigłówek, niewiele osiągamy. Tymczasem piękno ujawnia się w związku ciągu Fibonacciego z codziennością i rzeczywistością. Nie zdradzę tajemnicy, jeśli powiem, że te niezwykłe liczby spotkamy w przyrodzie (np. w przylistkach ananasa, spiralach na większości szyszek, skorupie ślimaka…), biznesie (przepowiedniach giełdowych!), architekturze (piramidy, Partenon, budynek Pentagonu…), rzeźbie (proporcje Wenus z Milo, Apolla Belwederskiego, rzeźbach współczesnych twórców, którzy deklarowali korzystanie ze złotego podziału…), malarstwie (Boticellego, Rafaela, Seurata…), muzyce (np. w budowie skrzypiec, wyznaczaniu punktu kulminacyjnego utworu lub jego określonym podziale u choćby Chopina, Mozarta, Wagnera…), wreszcie w samej matematyce (za pomocą ciągu możemy nawet szybko przeliczyć mile na kilometry i odwrotnie!).

Nauki nie trzeba się bać (trudniejsze dowody matematyczne znajdziemy w nieobowiązkowych dodatkach). Autorzy Niezwykłych liczb Fibonacciego zabierają czytelnika w fascynującą wyprawę wgłąb matematyki (bo muszę przyznać, że zaproponowana przez nich wyprawa wgłąb geometrii nie była dla mnie szczególnie udana), ale i świata przyrody, sztuki, codzienności. Okazuje się, że za pomocą ciągu Fibonacciego można opisać niemal całą rzeczywistość od drzewa genealogicznego trutnia po (przy pewnych założeniach) rozprzestrzenianie się plotki. No cóż, toż to czysta matematyka! A za najlepsze podsumowanie niech posłuży ostatnie zdanie posłowia Noblisty Herberta A. Hauptmana:

Trzymacie w rękach klucz do nieskończonych rozrywek, do bram pięknego świata matematyki.

Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann
Prószyński i S-ka
Liczba stron: 408

Ocena: 5/6